吴恩达《卷积神经网络》课程笔记(1)– 卷积神经网络基础

《Convolutional Neural Networks》是Andrw Ng深度学习专项课程中的第四门课。这门课主要介绍卷积神经网络(CNN)的基本概念、模型和具体应用。该门课共有4周课时,所以我将分成4次笔记来总结,这是第一节笔记。

1. Computer Vision

机器视觉(Computer Vision)是深度学习应用的主要方向之一。一般的CV问题包括以下三类:

  • Image Classification

  • Object detection

  • Neural Style Transfer

下图展示了一个神经风格转换(Neural Style Transfer)的例子:

使用传统神经网络处理机器视觉的一个主要问题是输入层维度很大。例如一张64x64x3的图片,神经网络输入层的维度为12288。如果图片尺寸较大,例如一张1000x1000x3的图片,神经网络输入层的维度将达到3百万,使得网络权重W非常庞大。这样会造成两个后果,一是神经网络结构复杂,数据量相对不够,容易出现过拟合;二是所需内存、计算量较大。解决这一问题的方法就是使用卷积神经网络(CNN)。

2. Edge Detection Example

对于CV问题,我们在之前的笔记中介绍过,神经网络由浅层到深层,分别可以检测出图片的边缘特征 、局部特征(例如眼睛、鼻子等)、整体面部轮廓。

这一小节我们将介绍如何检测图片的边缘。

最常检测的图片边缘有两类:一是垂直边缘(vertical edges),二是水平边缘(horizontal edges)。

图片的边缘检测可以通过与相应滤波器进行卷积来实现。以垂直边缘检测为例,原始图片尺寸为6×6,滤波器filter尺寸为3×3,卷积后的图片尺寸为4×4,得到结果如下:

上图只显示了卷积后的第一个值和最后一个值。

顺便提一下,*表示卷积操作。python中,卷积用conv_forward()表示;tensorflow中,卷积用tf.nn.conv2d()表示;keras中,卷积用Conv2D()表示。

Vertical edge detection能够检测图片的垂直方向边缘。下图对应一个垂直边缘检测的例子:

3. More Edge Detection

图片边缘有两种渐变方式,一种是由明变暗,另一种是由暗变明。以垂直边缘检测为例,下图展示了两种方式的区别。实际应用中,这两种渐变方式并不影响边缘检测结果,可以对输出图片取绝对值操作,得到同样的结果。

垂直边缘检测和水平边缘检测的滤波器算子如下所示:

下图展示一个水平边缘检测的例子:

除了上面提到的这种简单的Vertical、Horizontal滤波器之外,还有其它常用的filters,例如Sobel filter和Scharr filter。这两种滤波器的特点是增加图片中心区域的权重。

上图展示的是垂直边缘检测算子,水平边缘检测算子只需将上图顺时针翻转90度即可。

在深度学习中,如果我们想检测图片的各种边缘特征,而不仅限于垂直边缘和水平边缘,那么filter的数值一般需要通过模型训练得到,类似于标准神经网络中的权重W一样由梯度下降算法反复迭代求得。CNN的主要目的就是计算出这些filter的数值。确定得到了这些filter后,CNN浅层网络也就实现了对图片所有边缘特征的检测。

4. Padding

按照我们上面讲的图片卷积,如果原始图片尺寸为n x n,filter尺寸为f x f,则卷积后的图片尺寸为(n-f+1) x (n-f+1),注意f一般为奇数。这样会带来两个问题:

  • 卷积运算后,输出图片尺寸缩小

  • 原始图片边缘信息对输出贡献得少,输出图片丢失边缘信息

为了解决图片缩小的问题,可以使用padding方法,即把原始图片尺寸进行扩展,扩展区域补零,用p来表示每个方向扩展的宽度。

经过padding之后,原始图片尺寸为(n+2p) x (n+2p),filter尺寸为f x f,则卷积后的图片尺寸为(n+2p-f+1) x (n+2p-f+1)。若要保证卷积前后图片尺寸不变,则p应满足:

p=\frac{f-1}{2}

没有padding操作,p=0,我们称之为“Valid convolutions”;有padding操作,p=\frac{f-1}{2},我们称之为“Same convolutions”。

5. Strided Convolutions

Stride表示filter在原图片中水平方向和垂直方向每次的步进长度。之前我们默认stride=1。若stride=2,则表示filter每次步进长度为2,即隔一点移动一次。

我们用s表示stride长度,p表示padding长度,如果原始图片尺寸为n x n,filter尺寸为f x f,则卷积后的图片尺寸为:

\lfloor\frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor\ X\ \lfloor\frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor

上式中,\lfloor\cdots\rfloor表示向下取整。

值得一提的是,相关系数(cross-correlations)与卷积(convolutions)之间是有区别的。实际上,真正的卷积运算会先将filter绕其中心旋转180度,然后再将旋转后的filter在原始图片上进行滑动计算。filter旋转如下所示:

比较而言,相关系数的计算过程则不会对filter进行旋转,而是直接在原始图片上进行滑动计算。

其实,目前为止我们介绍的CNN卷积实际上计算的是相关系数,而不是数学意义上的卷积。但是,为了简化计算,我们一般把CNN中的这种“相关系数”就称作卷积运算。之所以可以这么等效,是因为滤波器算子一般是水平或垂直对称的,180度旋转影响不大;而且最终滤波器算子需要通过CNN网络梯度下降算法计算得到,旋转部分可以看作是包含在CNN模型算法中。总的来说,忽略旋转运算可以大大提高CNN网络运算速度,而且不影响模型性能。

卷积运算服从结合律:

(A * B) * C=A * (B * C)

6. Convolutions Over Volume

对于3通道的RGB图片,其对应的滤波器算子同样也是3通道的。例如一个图片是6 x 6 x 3,分别表示图片的高度(height)、宽度(weight)和通道(#channel)。

3通道图片的卷积运算与单通道图片的卷积运算基本一致。过程是将每个单通道(R,G,B)与对应的filter进行卷积运算求和,然后再将3通道的和相加,得到输出图片的一个像素值。

不同通道的滤波算子可以不相同。例如R通道filter实现垂直边缘检测,G和B通道不进行边缘检测,全部置零,或者将R,G,B三通道filter全部设置为水平边缘检测。

为了进行多个卷积运算,实现更多边缘检测,可以增加更多的滤波器组。例如设置第一个滤波器组实现垂直边缘检测,第二个滤波器组实现水平边缘检测。这样,不同滤波器组卷积得到不同的输出,个数由滤波器组决定。

若输入图片的尺寸为n x n x n_c,filter尺寸为f x f x n_c,则卷积后的图片尺寸为(n-f+1) x (n-f+1) x n_c’。其中,n_c为图片通道数目,n_c’为滤波器组个数。

7. One Layer of a Convolutional Network

卷积神经网络的单层结构如下所示:

相比之前的卷积过程,CNN的单层结构多了激活函数ReLU和偏移量b。整个过程与标准的神经网络单层结构非常类似:

Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]}+b

A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})

卷积运算对应着上式中的乘积运算,滤波器组数值对应着权重W^{[l]},所选的激活函数为ReLU。

我们来计算一下上图中参数的数目:每个滤波器组有3x3x3=27个参数,还有1个偏移量b,则每个滤波器组有27+1=28个参数,两个滤波器组总共包含28×2=56个参数。我们发现,选定滤波器组后,参数数目与输入图片尺寸无关。所以,就不存在由于图片尺寸过大,造成参数过多的情况。例如一张1000x1000x3的图片,标准神经网络输入层的维度将达到3百万,而在CNN中,参数数目只由滤波器组决定,数目相对来说要少得多,这是CNN的优势之一。

最后,我们总结一下CNN单层结构的所有标记符号,设层数为l

  • f^{[l]} = filter size

  • p^{[l]} = padding

  • s^{[l]} = stride

  • n_c^{[l]} = number of filters

输入维度为:n_H^{[l-1]} x n_W^{[l-1]} x n_c^{[l-1]}

每个滤波器组维度为:f^{[l]} x f^{[l]} x n_c^{[l-1]}

权重维度为:f^{[l]} x f^{[l]} x n_c^{[l-1]} x n_c^{[l]}

偏置维度为:1 x 1 x 1 x n_c^{[l]}

输出维度为:n_H^{[l]} x n_W^{[l]} x n_c^{[l]}

其中,

n_H^{[l]}=\lfloor \frac{n_H^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1 \rfloor

n_W^{[l]}=\lfloor \frac{n_W^{[l-1]}+2p^{[l]}-f^{[l]}}{s^{[l]}}+1 \rfloor

如果有m个样本,进行向量化运算,相应的输出维度为:m x n_H^{[l]} x n_W^{[l]} x n_c^{[l]}

8. Simple Convolutional Network Example

下面介绍一个简单的CNN网络模型:

该CNN模型各层结构如上图所示。需要注意的是,a^{[3]}的维度是7 x 7 x 40,将a^{[3]}排列成1列,维度为1960 x 1,然后连接最后一级输出层。输出层可以是一个神经元,即二元分类(logistic);也可以是多个神经元,即多元分类(softmax)。最后得到预测输出\hat y

值得一提的是,随着CNN层数增加,n_H^{[l]}n_W^{[l]}一般逐渐减小,而n_c^{[l]}一般逐渐增大。

CNN有三种类型的layer:

  • Convolution层(CONV)

  • Pooling层(POOL)

  • Fully connected层(FC)

CONV最为常见也最重要,关于POOL和FC我们之后再介绍。

9. Pooling Layers

Pooling layers是CNN中用来减小尺寸,提高运算速度的,同样能减小noise影响,让各特征更具有健壮性。

Pooling layers的做法比convolution layers简单许多,没有卷积运算,仅仅是在滤波器算子滑动区域内取最大值,即max pooling,这是最常用的做法。注意,超参数p很少在pooling layers中使用。

Max pooling的好处是只保留区域内的最大值(特征),忽略其它值,降低noise影响,提高模型健壮性。而且,max pooling需要的超参数仅为滤波器尺寸f和滤波器步进长度s,没有其他参数需要模型训练得到,计算量很小。

如果是多个通道,那么就每个通道单独进行max pooling操作。

除了max pooling之外,还有一种做法:average pooling。顾名思义,average pooling就是在滤波器算子滑动区域计算平均值。

实际应用中,max pooling比average pooling更为常用。

10. CNN Example

下面介绍一个简单的数字识别的CNN例子:

图中,CON层后面紧接一个POOL层,CONV1和POOL1构成第一层,CONV2和POOL2构成第二层。特别注意的是FC3和FC4为全连接层FC,它跟标准的神经网络结构一致。最后的输出层(softmax)由10个神经元构成。

整个网络各层的尺寸和参数如下表格所示:

11. Why Convolutions

相比标准神经网络,CNN的优势之一就是参数数目要少得多。参数数目少的原因有两个:

  • 参数共享:一个特征检测器(例如垂直边缘检测)对图片某块区域有用,同时也可能作用在图片其它区域。

  • 连接的稀疏性:因为滤波器算子尺寸限制,每一层的每个输出只与输入部分区域内有关。

除此之外,由于CNN参数数目较小,所需的训练样本就相对较少,从而一定程度上不容易发生过拟合现象。而且,CNN比较擅长捕捉区域位置偏移。也就是说CNN进行物体检测时,不太受物体所处图片位置的影响,增加检测的准确性和系统的健壮性。

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