如何让奇异值分解(SVD)变得不“奇异”?

在之前的一篇文章:通俗解释协方差与相关系数,红色石头为大家通俗化地讲解了协方差是如何定义的,以及如何直观理解协方差,并且比较了协方差与相关系数的关系。

本文红色石头将继续使用白话语言,介绍机器学习中应用十分广泛的矩阵分解方法:奇异值分解(SVD)。本文不注重详细的数学推导,只注重感性的理解以及如何在实际应用中使用它们。

1. 普通方阵的矩阵分解(EVD)

我们知道如果一个矩阵 A 是方阵,即行列维度相同(mxm),一般来说可以对 A 进行特征分解:

其中,U 的列向量是 A 的特征向量,Λ 是对角矩阵,Λ 对角元素是对应特征向量的特征值。

举个简单的例子,例如方阵 A 为:

那么对其进行特征分解,相应的 Python 代码为:

import numpy as np

A = np.array([[2,2],[1,2]])
lamda,U=np.linalg.eig(A)
print('方阵 A: ',A)
print('特征值 lamda: ',lamda)
print('特征向量 U: ',U)

运行输出:

方阵 A: [[2 2]
[1 2]]
特征值 lamda: [ 3.41421356 0.58578644]
特征向量 U: [[ 0.81649658 -0.81649658]
[ 0.57735027 0.57735027]]

特征分解就是把 A 拆分,如下所示:

其中,特征值 λ1=3.41421356,对应的特征向量 u1=[0.81649658 0.57735027];特征值 λ2=0.58578644,对应的特征向量 u2=[-0.81649658 0.57735027],特征向量均为列向量。

值得注意的是,特征向量都是单位矩阵,相互之间是线性无关的,但是并不正交。得出的结论是对于任意方阵,不同特征值对应的特征向量必然线性无关,但是不一定正交。

2.对称矩阵的矩阵分解(EVD)

如果方阵 A 是对称矩阵,例如:

对称矩阵特征分解满足以下公式:

那么对其进行特征分解,相应的 Python 代码为:

A = np.array([[2,1],[1,1]])
lamda,U=np.linalg.eig(A)
print('方阵 A: ',A)
print('特征值 lamda: ',lamda)
print('特征向量 U: ',U)

运行输出:

方阵 A: [[2 1]
[1 1]]
特征值 lamda: [ 2.61803399 0.38196601]
特征向量 U: [[ 0.85065081 -0.52573111]
[ 0.52573111 0.85065081]]

特征分解就是把 A 拆分,如下所示:

其中,特征值 λ1=2.61803399,对应的特征向量 u1=[0.85065081 0.52573111];特征值 λ2=0.38196601,对应的特征向量 u2=[-0.52573111 0.85065081],特征向量均为列向量。

注意,我们发现对阵矩阵的分解和非对称矩阵的分解除了公式不同之外,特征向量也有不同的特性。对称矩阵的不同特征值对应的特征向量不仅线性无关,而且是相互正交的。什么是正交呢?就是特征向量内积为零。验证如下:

0.85065081 * -0.52573111 + 0.52573111 * 0.85065081 = 0

重点来了,对称矩阵 A 经过矩阵分解之后,可以写成以下形式:

对上式进行验证:

这种分解形式非常有用,待会红色石头即将介绍。

3. 奇异值分解(SVD)

我们发现,在矩阵分解里的 A 是方阵或者是对称矩阵,行列维度都是相同的。但是实际应用中,很多矩阵都是非方阵、非对称的。那么如何对这类矩阵进行分解呢?因此,我们就引入了针对维度为 mxn 矩阵的分解方法,称之为奇异值分解(Singular Value Decomposition)。

假设矩阵 A 的维度为 mxn,虽然 A 不是方阵,但是下面的矩阵却是方阵,且维度分别为 mxm、nxn。

因此,我们就可以分别对上面的方阵进行分解:

其中,Λ1 和 Λ2 是对焦矩阵,且对角线上非零元素均相同,即两个方阵具有相同的非零特征值,特征值令为 σ1, σ2, … , σk。值得注意的是,k<=m 且 k<=n。

根据 σ1, σ2, … , σk 就可以得到矩阵 A 的特征值为:

接下来,我们就能够得到奇异值分解的公式:

其中,P 称为左奇异矩阵,维度是 mxm,Q 称为右奇异矩阵,维度是 nxn。Λ 并不是方阵,其维度为 mxn,Λ 对角线上的非零元素就是 A 的特征值 λ1, λ2, … , λk。图形化表示奇异值分解如下图所示:

举个简单的例子来说明,令 A 为 3×2 的矩阵:

则有:

计算得到特征向量 P 和对应的特征值 σ 为:

然后,有:

计算得到特征向量 Q 和对应的特征值 σ 为:

则我们看可以得到 A 的特征值为:

最后,整合矩阵相乘结果,满足奇异值分解公式。

奇异值分解可以写成以下和的形式:

其中,p1 和 q1 分别为左奇异矩阵和右奇异矩阵的特征向量。

4. 如何形象化理解 SVD

奇异值分解到底有什么用呢?如何形象化地理解奇异值?我们一起来看下面的例子。

首先放上男神的照片:

我们对该图片进行奇异值分解,则该图片可写成以下和的形式:

上式中,λ1, λ2, … , λk 是按照从大到小的顺序的。

首先,若我们只保留最大的奇异值 λ1,舍去其它奇异值,即 A=λ1p1q1T,然后作图:

结果完全看不清楚,再多加几个奇异值,取前 5 个最大的奇异值,然后作图:

现在貌似有点轮廓了,继续增加奇异值,取前 10 个最大的奇异值,然后作图:

又清晰了一些,继续将奇异值增加到 20 个,然后作图:

现在已经比较清晰了,继续将奇异值增加到 50 个,然后作图:

可见,取前 50 个最大奇异值来重构图像时,已经非常清晰了。我们得到和原图差别不大的图像。也就是说,随着选择的奇异值的增加,重构的图像越来越接近原图像。

基于这个原理,奇异值分解可以用来进行图片压缩。例如在本例中,原始图片的维度是 870×870,总共需要保存的像素值是:870×870=756900。若使用 SVD,取前 50 个最大的奇异值即可,则总共需要存储的元素个数为:

(870+1+870)*50=87050

显然,所需存储量大大减小了。在需要存储许多高清图片,而存储空间有限的情况下,就可以利用 SVD,保留奇异值最大的若干项,舍去奇异值较小的项即可。

值得一提的是,奇异值从大到小衰减得特别快,在很多情况下,前 10% 甚至 1% 的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的 99% 以上了。这对于数据压缩来说是个好事。下面这张图展示了本例中奇异值和奇异值累加的分布:

SVD 数据压缩的算法图示如下:

SVD 数据压缩的示例代码为:

from skimage import io
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image

img=io.imread('./ng.jpg')
m,n = img.shape
io.imshow(img)
plt.show()

P, L, Q = np.linalg.svd(img)
tmp = np.diag(L)
if m < n:
   d = np.hstack((tmp,np.zeros((m,n-m))))
else:
   d = np.vstack((tmp,np.zeros((m-n,n))))

# k = 50
img2 = P[:,:50].dot(d[:50,:50]).dot(Q[:50,:])
io.imshow(np.uint8(img2))
plt.show()

tmp = np.uint8(img2)
im = Image.fromarray(tmp)
im.save("out.jpg")

现在,你已经完全了解了奇异值分解了吧。是不是挺简单也挺有意思呢?

参考文献

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26306568

https://www.zhihu.com/question/22237507/answer/53804902

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