吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 3:回归问题和正则化

今天带来第三周课程的笔记:回归问题和正则化。

主要讲解的内容包含:

  • 逻辑回归
  • 代价函数
  • 线性回归和逻辑回归的比较
  • 正则化问题
  • 逻辑回归
  • 分类问题

逻辑回归

分类问题

假设预测的变量y是离散的值,需要使用逻辑回归Logistic Regression,LR的算法,实际上它是一种分类算法

二元分类问题

将因变量dependent variable可能属于的两个类分别称为负向类negative class和正向类positive class,因变量y的取值只能在0和1之间,其中0表示负类,1表示正类

假说表示Hypothesis Representation

分类器的输出值在0和1之间,因此,希望找出一个满足某个性质的假设函数,这个性质是它的预测值要在0和1之间

引入一个新的模型:逻辑回归,该模型的输出变量范围始终在0和1之间。逻辑回归模型的假设是:

其中X代表的是特征向量g的逻辑函数,常用的S型函数(上图的右边,sigmoid function)公式为

Python代码实现sigmod激活函数:

import numpy as np

def sigmod(z):
  return 1 / (1 + np.exp(-z))

hθ(x)作用是对于给定的输入变量,根据选择的参数计算输出变量=1的可能性,即:hθ(x)=P(y=1|x;θ)

例如:对于给定的x,通过已经确定的参数计算得出hθ(x)=0.7hθ(x)=0.7,则表示有70%的几率y属于正类

决策边界decision boundary

解释逻辑回归

在逻辑回归中h≥0.5h≥0.5预测y=1y=1;反之y=0
在激活函数g(z)g(z)中:
当z≥0z≥0则g(z)≥0.5g(z)≥0.5
当z<0z<0则g(z)<0.5g(z)<0.5
又因为 z=θTx ,即: θTx>=0 时,预测 y=1y=1 ;反之:θTx<0 时,预测 y=0

实例demo

在下图的中实例中,参数θ满足[-3,1,1],当−3+x1+x2≥0,即x1+x2≥3时,模型预测y=1;说明此时:直线x1+x2=3就是决策边界

复杂的模型边界问题

代价函数Cost Function

如何拟合LR模型的参数θ

  1. 线性模型中代价函数是模型误差的平方和 :

如果直接使用线性模型中的代价函数,即误差平方和,得到的代价函数是个非凸函数,但是实际上我们期望看的是凸函数(右边)

重新定义逻辑回归的代价函数

将上面的两个式子进行合并:

hθ(x)和Cost(hθ(x),y)之间的关系

根据y的不同取值来进行分别判断,同时需要注意的是:假设函数h的取值只在[0,1]之间

y=1的情形

y=0的情形

Python代码实现代价函数

利用Python实现下面的代价函数

  • first 表示的是右边第一项
  • second 表示的是右边第二项

import numpy as np

def cost(theta, X, y):
  # 实现代价函数

  theta=np.matrix(theta)
  X = np.matrix(X)
  y = np.matrxi(y)

  first = np.multiply(-y, np.log(sigmod(X * theta.T)))
  second = np.multiply((1 - y), np.log(1-sigmod(X * theta.T)))

  return np.sum(first - second) / (len(X))

利用梯度下降来求解LR最小参数

1、LR中的代价函数是 :

2、最终结果:

3、具体过程

不断地迭代更新θj:

如果存在n个特征,也就是θ=[θ0,θ1,…,θn]T。那么就需要根据上面的式子从0-n来更新所有的θ

线性回归 VS 逻辑回归

假设的定义规则发生变化

线性回归:

逻辑回归:

因此,即使更新参数的规则看起来基本相同,但由于假设的定义发生了变化,所以逻辑函数的梯度下降,跟线性回归的梯度下降实际上是两个完全不同的东西。

其他求解代价函数最小的算法

  • 共轭梯度conjugate gradient
  • 局部优化法Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS
  • 有限内存局部优化法LBFGS
  • 多类别分类one-vs-all

多类别分类one-vs-all

我们举一个实际中的例子来说明:

假如现在需要一个学习算法能自动地将邮件归类到不同的文件夹里,或者说可以自动地加上标签,那么需要一些不同的文件夹,或者不同的标签来完成这件事,来区分开来自工作、朋友、家人或者有关兴趣爱好的邮件,那么,就有了这样一个分类问题:其类别有4个,分别用y=1,2,3,4 来代表。

正则化问题Regularization

正则化基础

正则化技术主要是为了解决过拟合的问题。过拟合指的是:对样本数据具有很好的判断能力,但是对新的数据预测能力很差。

  • 第一个模型是一个线性模型,欠拟合,不能很好地适应我们的训练集
  • 第三个模型是一个四次方的模型,过于强调拟合原始数据,而丢失了算法的本质:预测新数据
  • 中间的模型似乎最合适

如果是多项式拟合,x的次数越高,拟合的效果越好,但是相应的预测能力就可能变差。对于过拟合的处理:

丢弃一些不能正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征,或者使用一些模型选择的算法,例如PCA

正则化。保留所有的特征,但是减少参数的大小magnitude

加入正则化参数

在模型hθ(x)=θ0+θ1×1+θ2×2+θ3×3+θ4×4中,主要是高次项产生的过拟合问题:

加入正则化参数后能够防止过拟合问题,其中λλ是正则化参数Regularization Parameter

那么,相应的代价函数变成为:

Attention:

一般地,不对θ0进行惩罚;加上正则化参数实际上是对参数θ进行惩罚。经过正则化处理后的模型和原模型的对比:

如果λ过大,所有的参数最小化,模型变成了hθ(x)=θ0,造成了过拟合

正则化线性回归Regularized Linear Regression

正则化线性回归的代价函数:

Attention:在线性回归中,不对θ0进行正则化:

当j=1,2,…,n时:

调整下变成:

正则化逻辑回归Regularized Logistic Regression

LR问题两种优化方法:
– 梯度下降法
– 更高级优化算法

加上正则惩罚项后的代价函数为:

python代码实现

import numpy as np

# 实现代价函数
def costReg(theta, X, y, lr):
  theta= np.matrix(theta)
  X = np.matrix(X)
  y = np.matrix(y)

  first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X * theta.T)))
  second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X * theta.T)))
  reg = (lr / (2 * len(X)) * np.sum(np.power(theta[:, 1:theta.shape[1]], 2))   # theta[:, 1:theta.shape[1]] 代表的是 \theta_j
  return np.sum(first - second) / len((X)) + reg

通过求导,得到梯度下降算法,本质上就是对θ的不断更新:

至此,第三周的课程笔记完毕!

系列文章:

吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 1:监督学习与非监督学习

吴恩达《Machine Learning》精炼笔记 2:梯度下降与正规方程


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