林轩田机器学习技法课程学习笔记10 — Random Forest

上节课我们主要介绍了Decision Tree模型。Decision Tree算法的核心是通过递归的方式,将数据集不断进行切割,得到子分支,最终形成数的结构。C&RT算法是决策树比较简单和常用的一种算法,其切割的标准是根据纯度来进行,每次切割都是为了让分支内部纯度最大。最终,决策树不同的分支得到不同的g_t(x)(即树的叶子,C&RT算法中,g_t(x)是常数)。本节课将介绍随机森林(Random Forest)算法,它是我们之前介绍的Bagging和上节课介绍的Decision Tree的结合。

1. Random Forest Algorithm

首先我们来复习一下之前介绍过的两个机器学习模型:Bagging和Decision Tree。Bagging是通过bootstrap的方式,从原始的数据集D中得到新的\hat{D};然后再使用一些base algorithm对每个\hat{D}都得到相应的g_t;最后将所有的g_t通过投票uniform的形式组合成一个G,G即为我们最终得到的模型。Decision Tree是通过递归形式,利用分支条件,将原始数据集D切割成一个个子树结构,长成一棵完整的树形结构。Decision Tree最终得到的G(x)是由相应的分支条件b(x)和分支树G_c(x)递归组成。

Bagging和Decison Tree算法各自有一个很重要的特点。Bagging具有减少不同g_t的方差variance的特点。这是因为Bagging采用投票的形式,将所有g_tuniform结合起来,起到了求平均的作用,从而降低variance。而Decision Tree具有增大不同g_t的方差variance的特点。这是因为Decision Tree每次切割的方式不同,而且分支包含的样本数在逐渐减少,所以它对不同的资料D会比较敏感一些,从而不同的D会得到比较大的variance。

所以说,Bagging能减小variance,而Decision Tree能增大variance。如果把两者结合起来,能否发挥各自的优势,起到优势互补的作用呢?这就是我们接下来将要讨论的aggregation of aggregation,即使用Bagging的方式把众多的Decision Tree进行uniform结合起来。这种算法就叫做随机森林(Random Forest),它将完全长成的C&RT决策树通过bagging的形式结合起来,最终得到一个庞大的决策模型。

Random Forest算法流程图如下所示:

Random Forest算法的优点主要有三个。第一,不同决策树可以由不同主机并行训练生成,效率很高;第二,随机森林算法继承了C&RT的优点;第三,将所有的决策树通过bagging的形式结合起来,避免了单个决策树造成过拟合的问题。

以上是基本的Random Forest算法,我们再来看一下如何让Random Forest中决策树的结构更有多样性。Bagging中,通过bootstrap的方法得到不同于D的D’,使用这些随机抽取的资料得到不同的g_t。除了随机抽取资料获得不同g_t的方式之外,还有另外一种方法,就是随机抽取一部分特征。例如,原来有100个特征,现在只从中随机选取30个来构成决策树,那么每一轮得到的树都由不同的30个特征构成,每棵树都不一样。假设原来样本维度是d,则只选择其中的d’(d’小于d)个维度来建立决策树结构。这类似是一种从d维到d’维的特征转换,相当于是从高维到低维的投影,也就是说d’维z空间其实就是d维x空间的一个随机子空间(subspace)。通常情况下,d’远小于d,从而保证算法更有效率。Random Forest算法的作者建议在构建C&RT每个分支b(x)的时候,都可以重新选择子特征来训练,从而得到更具有多样性的决策树。

所以说,这种增强的Random Forest算法增加了random-subspace。

上面我们讲的是随机抽取特征,除此之外,还可以将现有的特征x,通过数组p进行线性组合,来保持多样性:

\phi_i(x)=p_i^Tx

这种方法使每次分支得到的不再是单一的子特征集合,而是子特征的线性组合(权重不为1)。好比在二维平面上不止得到水平线和垂直线,也能得到各种斜线。这种做法使子特征选择更加多样性。值得注意的是,不同分支i下的p_i是不同的,而且向量p_i中大部分元素为零,因为我们选择的只是一部分特征,这是一种低维映射。

所以,这里的Random Forest算法又有增强,由原来的random-subspace变成了random-combination。顺便提一下,这里的random-combination类似于perceptron模型。

2. Out-Of-Bag Estimate

上一部分我们已经介绍了Random Forest算法,而Random Forest算法重要的一点就是Bagging。接下来将继续探讨bagging中的bootstrap机制到底蕴含了哪些可以为我们所用的东西。

通过bootstrap得到新的样本集D’,再由D’训练不同的g_t。我们知道D’中包含了原样本集D中的一些样本,但也有些样本没有涵盖进去。如下表所示,不同的g_t下,红色的*表示在\hat D_t中没有这些样本。例如对g_1来说,(x_2,y_2)(x_3,y_4)没有包含进去,对g_2来说,(x_1,y_1)(x_2,y_2)没有包含进去,等等。每个g_t中,红色*表示的样本被称为out-of-bag(OOB) example。

首先,我们来计算OOB样本到底有多少。假设bootstrap的数量N’=N,那么某个样本(x_n,y_n)是OOB的概率是:

(1-\frac1N)^N=\frac{1}{(\frac{N}{N-1})^N}=\frac{1}{(1+\frac{1}{N-1})^N}\approx \frac1e

其中,e是自然对数,N是原样本集的数量。由上述推导可得,每个g_t中,OOB数目大约是\frac1eN,即大约有三分之一的样本没有在bootstrap中被抽到。

然后,我们将OOB与之前介绍的Validation进行对比:

在Validation表格中,蓝色的D_{train}用来得到不同的g_m^-,而红色的D_{val}用来验证各自的g_m^-D_{train}D_{val}没有交集,一般D_{train}D_{val}的数倍关系。再看左边的OOB表格,之前我们也介绍过,蓝色的部分用来得到不同的g_t,而红色的部分是OOB样本。而我们刚刚也推导过,红色部分大约占N的\frac1e。通过两个表格的比较,我们发现OOB样本类似于D_{val},那么是否能使用OOB样本来验证g_t的好坏呢?答案是肯定的。但是,通常我们并不需要对单个g_t进行验证。因为我们更关心的是由许多g_t组合成的G,即使g_t表现不太好,只要G表现足够好就行了。那么问题就转化成了如何使用OOB来验证G的好坏。方法是先看每一个样本(x_n,y_n)是哪些g_t的OOB资料,然后计算其在这些g_t上的表现,最后将所有样本的表现求平均即可。例如,样本(x_N,y_N)g_2g_3g_T的OOB,则可以计算(x_N,y_N)G_N^-(x)上的表现为:

G_N^-(x)=average(g_2,g_3,g_T)

这种做法我们并不陌生,就像是我们之前介绍过的Leave-One-Out Cross Validation,每次只对一个样本进行g^-的验证一样,只不过这里选择的是每个样本是哪些g_t的OOB,然后再分别进行G_n^-(x)的验证。每个样本都当成验证资料一次(与留一法相同),最后计算所有样本的平均表现:

E_{oob}(G)=\frac1N\sum_{n=1}^Nerr(y_n,G_n^-(x_n))

E_{oob}(G)估算的就是G的表现好坏。我们把E_{oob}称为bagging或者Random Forest的self-validation。

这种self-validation相比于validation来说还有一个优点就是它不需要重复训练。如下图左边所示,在通过D_{val}选择到表现最好的g_{m^*}^-之后,还需要在D_{train}D_{val}组成的所有样本集D上重新对该模型g_{m^*}^-训练一次,以得到最终的模型系数。但是self-validation在调整随机森林算法相关系数并得到最小的E_{oob}之后,就完成了整个模型的建立,无需重新训练模型。随机森林算法中,self-validation在衡量G的表现上通常相当准确。

3. Feature Selection

如果样本资料特征过多,假如有10000个特征,而我们只想从中选取300个特征,这时候就需要舍弃部分特征。通常来说,需要移除的特征分为两类:一类是冗余特征,即特征出现重复,例如“年龄”和“生日”;另一类是不相关特征,例如疾病预测的时候引入的“保险状况”。这种从d维特征到d’维特征的subset-transform \Phi(x)称为Feature Selection,最终使用这些d’维的特征进行模型训练。

特征选择的优点是:

  • 提高效率,特征越少,模型越简单

  • 正则化,防止特征过多出现过拟合

  • 去除无关特征,保留相关性大的特征,解释性强

同时,特征选择的缺点是:

  • 筛选特征的计算量较大

  • 不同特征组合,也容易发生过拟合

  • 容易选到无关特征,解释性差

值得一提的是,在decision tree中,我们使用的decision stump切割方式也是一种feature selection。

那么,如何对许多维特征进行筛选呢?我们可以通过计算出每个特征的重要性(即权重),然后再根据重要性的排序进行选择即可。

这种方法在线性模型中比较容易计算。因为线性模型的score是由每个特征经过加权求和而得到的,而加权系数的绝对值|w_i|正好代表了对应特征x_i的重要性为多少。|w_i|越大,表示对应特征x_i越重要,则该特征应该被选择。w的值可以通过对已有的数据集(x_i,y_i)建立线性模型而得到。

然而,对于非线性模型来说,因为不同特征可能是非线性交叉在一起的,所以计算每个特征的重要性就变得比较复杂和困难。例如,Random Forest就是一个非线性模型,接下来,我们将讨论如何在RF下进行特征选择。

RF中,特征选择的核心思想是random test。random test的做法是对于某个特征,如果用另外一个随机值替代它之后的表现比之前更差,则表明该特征比较重要,所占的权重应该较大,不能用一个随机值替代。相反,如果随机值替代后的表现没有太大差别,则表明该特征不那么重要,可有可无。所以,通过比较某特征被随机值替代前后的表现,就能推断出该特征的权重和重要性。

那么random test中的随机值如何选择呢?通常有两种方法:一是使用uniform或者gaussian抽取随机值替换原特征;一是通过permutation的方式将原来的所有N个样本的第i个特征值重新打乱分布(相当于重新洗牌)。比较而言,第二种方法更加科学,保证了特征替代值与原特征的分布是近似的(只是重新洗牌而已)。这种方法叫做permutation test(随机排序测试),即在计算第i个特征的重要性的时候,将N个样本的第i个特征重新洗牌,然后比较D和D^{(p)}表现的差异性。如果差异很大,则表明第i个特征是重要的。

知道了permutation test的原理后,接下来要考虑的问题是如何衡量上图中的performance,即替换前后的表现。显然,我们前面介绍过performance可以用E_{oob}(G)来衡量。但是,对于N个样本的第i个特征值重新洗牌重置的D^{(p)},要对它进行重新训练,而且每个特征都要重复训练,然后再与原D的表现进行比较,过程非常繁琐。为了简化运算,RF的作者提出了一种方法,就是把permutation的操作从原来的training上移到了OOB validation上去,记为E_{oob}(G^{(p)})\rightarrow E_{oob}^{(p)}(G)。也就是说,在训练的时候仍然使用D,但是在OOB验证的时候,将所有的OOB样本的第i个特征重新洗牌,验证G的表现。这种做法大大简化了计算复杂度,在RF的feature selection中应用广泛。

4. Random Forest in Action

最后,我们通过实际的例子来看一下RF的特点。首先,仍然是一个二元分类的例子。如下图所示,左边是一个C&RT树没有使用bootstrap得到的模型分类效果,其中不同特征之间进行了随机组合,所以有斜线作为分类线;中间是由bootstrap(N’=N/2)后生成的一棵决策树组成的随机森林,图中加粗的点表示被bootstrap选中的点;右边是将一棵决策树进行bagging后的分类模型,效果与中间图是一样的,都是一棵树。

当t=100,即选择了100棵树时,中间的模型是第100棵决策树构成的,还是只有一棵树;右边的模型是由100棵决策树bagging起来的,如下图所示:

当t=200时:

当t=300时:

当t=400时:

当t=500时:

当t=600时:

当t=700时:

当t=800时:

当t=900时:

当t=1000时:

随着树木个数的增加,我们发现,分界线越来越光滑而且得到了large-margin-like boundary,类似于SVM一样的效果。也就是说,树木越多,分类器的置信区间越大。

然后,我们再来看一个比较复杂的例子,二维平面上分布着许多离散点,分界线形如sin函数。当只有一棵树的时候(t=1),下图左边表示单一树组成的RF,右边表示所有树bagging组合起来构成的RF。因为只有一棵树,所以左右两边效果一致。

当t=6时:

当t=11时:

当t=16时:

当t=21时:

可以看到,当RF由21棵树构成的时候,分界线就比较平滑了,而且它的边界比单一树构成的RF要robust得多,更加平滑和稳定。

最后,基于上面的例子,再让问题复杂一点:在平面上添加一些随机噪声。当t=1时,如下图所示:

当t=6时:

当t=11时:

当t=16时:

当t=21时:

从上图中,我们发现21棵树的时候,随机noise的影响基本上能够修正和消除。这种bagging投票的机制能够保证较好的降噪性,从而得到比较稳定的结果。

经过以上三个例子,我们发现RF中,树的个数越多,模型越稳定越能表现得好。在实际应用中,应该尽可能选择更多的树。值得一提的是,RF的表现同时也与random seed有关,即随机的初始值也会影响RF的表现。

5. 总结:

本节课主要介绍了Random Forest算法模型。RF将bagging与decision tree结合起来,通过把众多的决策树组进行组合,构成森林的形式,利用投票机制让G表现最佳,分类模型更稳定。其中为了让decision tree的随机性更强一些,可以采用randomly projected subspaces操作,即将不同的features线性组合起来,从而进行各式各样的切割。同时,我们也介绍了可以使用OOB样本来进行self-validation,然后可以使用self-validation来对每个特征进行permutaion test,得到不同特征的重要性,从而进行feature selection。总的来说,RF算法能够得到比较平滑的边界,稳定性强,前提是有足够多的树。

注明:

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程

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