林轩田机器学习技法课程学习笔记11 — Gradient Boosted Decision Tree

上节课我们主要介绍了Random Forest算法模型。Random Forest就是通过bagging的方式将许多不同的decision tree组合起来。除此之外,在decision tree中加入了各种随机性和多样性,比如不同特征的线性组合等。RF还可以使用OOB样本进行self-validation,而且可以通过permutation test进行feature selection。本节课将使用Adaptive Boosting的方法来研究decision tree的一些算法和模型。

1. Adaptive Boosted Decision Tree

Random Forest的算法流程我们上节课也详细介绍过,就是先通过bootstrapping“复制”原样本集D,得到新的样本集D’;然后对每个D’进行训练得到不同的decision tree和对应的g_t;最后再将所有的g_t通过uniform的形式组合起来,即以投票的方式得到G。这里采用的Bagging的方式,也就是把每个g_t的预测值直接相加。现在,如果将Bagging替换成AdaBoost,处理方式有些不同。首先每轮bootstrap得到的D’中每个样本会赋予不同的权重u^{(t)};然后在每个decision tree中,利用这些权重训练得到最好的g_t;最后得出每个g_t所占的权重,线性组合得到G。这种模型称为AdaBoost-D Tree。

但是在AdaBoost-DTree中需要注意的一点是每个样本的权重u^{(t)}。我们知道,在Adaptive Boosting中进行了bootstrap操作,u^{(t)}表示D中每个样本在D’中出现的次数。但是在决策树模型中,例如C&RT算法中并没有引入u^{(t)}。那么,如何在决策树中引入这些权重u^{(t)}来得到不同的g_t而又不改变原来的决策树算法呢?

在Adaptive Boosting中,我们使用了weighted algorithm,形如:

E_{in}^u(h)=\frac1N\sum_{n=1}^Nu_n\cdot err(y_n,h(x_n))

每个犯错误的样本点乘以相应的权重,求和再平均,最终得到了E_{in}^u(h)。如果在决策树中使用这种方法,将当前分支下犯错误的点赋予权重,每层分支都这样做,会比较复杂,不易求解。为了简化运算,保持决策树算法本身的稳定性和封闭性,我们可以把决策树算法当成一个黑盒子,即不改变其结构,不对算法本身进行修改,而从数据来源D’上做一些处理。按照这种思想,我们来看权重u实际上表示该样本在bootstrap中出现的次数,反映了它出现的概率。那么可以根据u值,对原样本集D进行一次重新的随机sampling,也就是带权重的随机抽样。sampling之后,会得到一个新的D’,D’中每个样本出现的几率与它权重u所占的比例应该是差不多接近的。因此,使用带权重的sampling操作,得到了新的样本数据集D’,可以直接代入决策树进行训练,从而无需改变决策树算法结构。sampling可看成是bootstrap的反操作,这种对数据本身进行修改而不更改算法结构的方法非常重要!

所以,AdaBoost-DTree结合了AdaBoost和DTree,但是做了一点小小的改变,就是使用sampling替代权重u^{(t)},效果是相同的。

上面我们通过使用sampling,将不同的样本集代入决策树中,得到不同的g_t。除此之外,我们还要确定每个g_t所占的权重\alpha_t。之前我们在AdaBoost中已经介绍过,首先算出每个g_t的错误率\epsilon_t,然后计算权重:

\alpha_t=ln\ \diamond_t=ln \sqrt{\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t}}

如果现在有一棵完全长成的树(fully grown tree),由所有的样本x_n训练得到。若每个样本都不相同的话,一刀刀切割分支,直到所有的x_n都被完全分开。这时候,E_{in}(g_t)=0,加权的E_{in}^u(g_t)=0而且\epsilon_t也为0,从而得到权重\alpha_t=\infty\alpha_t=\infty表示该g_t所占的权重无限大,相当于它一个就决定了G结构,是一种autocracy,而其它的g_t对G没有影响。

显然\alpha_t=\infty不是我们想看到的,因为autocracy总是不好的,我们希望使用aggregation将不同的g_t结合起来,发挥集体智慧来得到最好的模型G。首先,我们来看一下什么原因造成了\alpha_t=\infty。有两个原因:一个是使用了所有的样本x_n进行训练;一个是树的分支过多,fully grown。针对这两个原因,我们可以对树做一些修剪(pruned),比如只使用一部分样本,这在sampling的操作中已经起到这类作用,因为必然有些样本没有被采样到。除此之外,我们还可以限制树的高度,让分支不要那么多,从而避免树fully grown。

因此,AdaBoost-DTree使用的是pruned DTree,也就是说将这些预测效果较弱的树结合起来,得到最好的G,避免出现autocracy。

刚才我们说了可以限制树的高度,那索性将树的高度限制到最低,即只有1层高的时候,有什么特性呢?当树高为1的时候,整棵树只有两个分支,切割一次即可。如果impurity是binary classification error的话,那么此时的AdaBoost-DTree就跟AdaBoost-Stump没什么两样。也就是说AdaBoost-Stump是AdaBoost-DTree的一种特殊情况。

值得一提是,如果树高为1时,通常较难遇到\epsilon_t=0的情况,且一般不采用sampling的操作,而是直接将权重u代入到算法中。这是因为此时的AdaBoost-DTree就相当于是AdaBoost-Stump,而AdaBoost-Stump就是直接使用u来优化模型的。

2. Optimization View of AdaBoost

接下来,我们继续将继续探讨AdaBoost算法的一些奥妙之处。我们知道AdaBoost中的权重的迭代计算如下所示:

之前对于incorrect样本和correct样本,u_n^{(t+1)}的表达式不同。现在,把两种情况结合起来,将u_n^{(t+1)}写成一种简化的形式:

u_n^{(t+1)}=u_n^{(t)}\cdot \diamond_t^{-y_ng_t(x_n)}=u_n^{(t)}\cdot exp(-y_n\alpha_tg_t(x_n))

其中,对于incorrect样本,y_ng_t(x_n)<0,对于correct样本,y_ng_t(x_n)>0。从上式可以看出,u_n^{(t+1)}u_n^{(t)}与某个常数相乘得到。所以,最后一轮更新的u_n^{(T+1)}可以写成u_n^{(1)}的级联形式,我们之前令u_n^{(1)}=\frac1N,则有如下推导:

u_n^{(T+1)}=u_n^{(1)}\cdot \prod_{t=1}^Texp(-y_n\alpha_tg_t(x_n))=\frac1N\cdot exp(-y_n\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n))

上式中\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n)被称为voting score,最终的模型G=sign(\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n))。可以看出,在AdaBoost中,u_n^{(T+1)}exp(-y_n(voting\ score\ on\ x_n))成正比。

接下来我们继续看一下voting score中蕴含了哪些内容。如下图所示,voting score由许多g_t(x_n)乘以各自的系数\alpha_t线性组合而成。从另外一个角度来看,我们可以把g_t(x_n)看成是对x_n的特征转换\phi_i(x_n)\alpha_t就是线性模型中的权重w_i。看到这里,我们回忆起之前SVM中,w与\phi (x_n)的乘积再除以w的长度就是margin,即点到边界的距离。另外,乘积项再与y_n相乘,表示点的位置是在正确的那一侧还是错误的那一侧。所以,回过头来,这里的voting score实际上可以看成是没有正规化(没有除以w的长度)的距离,即可以看成是该点到分类边界距离的一种衡量。从效果上说,距离越大越好,也就是说voting score要尽可能大一些。

我们再来看,若voting score与y_n相乘,则表示一个有对错之分的距离。也就是说,如果二者相乘是负数,则表示该点在错误的一边,分类错误;如果二者相乘是正数,则表示该点在正确的一边,分类正确。所以,我们算法的目的就是让y_n与voting score的乘积是正的,而且越大越好。那么在刚刚推导的u_n^{(T+1)}中,得到exp(-y_n(voting\ score))越小越好,从而得到u_n^{(T+1)}越小越好。也就是说,如果voting score表现不错,与y_n的乘积越大的话,那么相应的u_n^{(T+1)}应该是最小的。

那么在AdaBoost中,随着每轮学习的进行,每个样本的u_n^{(t)}是逐渐减小的,直到u_n^{(T+1)}最小。以上是从单个样本点来看的。总体来看,所有样本的u_n^{(T+1)}之和应该也是最小的。我们的目标就是在最后一轮(T+1)学习后,让所有样本的u_n^{(T+1)}之和尽可能地小。u_n^{(T+1)}之和表示为如下形式:

上式中,\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x_n)被称为linear score,用s表示。对于0/1 error:若ys<0,则err_{0/1}=1;若ys>=0,则err_{0/1}=0。如下图右边黑色折线所示。对于上式中提到的指数error,即\hat{err}_{ADA}(s,y)=exp(-ys),随着ys的增加,error单调下降,且始终落在0/1 error折线的上面。如下图右边蓝色曲线所示。很明显,\hat{err}_{ADA}(s,y)可以看成是0/1 error的上界。所以,我们可以使用\hat{err}_{ADA}(s,y)来替代0/1 error,能达到同样的效果。从这点来说,\sum_{n=1}^Nu_n^{(T+1)}可以看成是一种error measure,而我们的目标就是让其最小化,求出最小值时对应的各个\alpha_tg_t(x_n)

下面我们来研究如何让\sum_{n=1}^Nu_n^{(T+1)}取得最小值,思考是否能用梯度下降(gradient descent)的方法来进行求解。我们之前介绍过gradient descent的核心是在某点处做一阶泰勒展开:

其中,w_t是泰勒展开的位置,v是所要求的下降的最好方向,它是梯度\nabla E_{in}(w_t)的反方向,而\eta是每次前进的步长。则每次沿着当前梯度的反方向走一小步,就会不断逼近谷底(最小值)。这就是梯度下降算法所做的事情。

现在,我们对\check{E}_{ADA}做梯度下降算法处理,区别是这里的方向是一个函数g_t,而不是一个向量w_t。其实,函数和向量的唯一区别就是一个下标是连续的,另一个下标是离散的,二者在梯度下降算法应用上并没有大的区别。因此,按照梯度下降算法的展开式,做出如下推导:

上式中,h(x_n)表示当前的方向,它是一个矩,\eta是沿着当前方向前进的步长。我们要求出这样的h(x_n)\eta,使得\check{E}_{ADA}是在不断减小的。当\check{E}_{ADA}取得最小值的时候,那么所有的方向即最佳的h(x_n)\eta就都解出来了。上述推导使用了在-y_n\eta h(x_n)=0处的一阶泰勒展开近似。这样经过推导之后,\check{E}_{ADA}被分解为两个部分,一个是前N个u之和\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)},也就是当前所有的E_{in}之和;另外一个是包含下一步前进的方向h(x_n)和步进长度\eta的项-\eta\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}y_nh(x_n)\check{E}_{ADA}的这种形式与gradient descent的形式基本是一致的。

那么接下来,如果要最小化\check{E}_{ADA}的话,就要让第二项-\eta\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}y_nh(x_n)越小越好。则我们的目标就是找到一个好的h(x_n)(即好的方向)来最小化\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n)),此时先忽略步进长度\eta

对于binary classification,y_nh(x_n)均限定取值-1或+1两种。我们对\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))做一些推导和平移运算:

最终\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))化简为两项组成,一项是-\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)};另一项是2E_{in}^{u(t)}(h)\cdot N。则最小化\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}(-y_nh(x_n))就转化为最小化E_{in}^{u(t)}(h)。要让E_{in}^{u(t)}(h)最小化,正是由AdaBoost中的base algorithm所做的事情。所以说,AdaBoost中的base algorithm正好帮我们找到了梯度下降中下一步最好的函数方向。

以上就是从数学上,从gradient descent角度验证了AdaBoost中使用base algorithm得到的g_t就是让\check{E}_{ADA}减小的方向,只不过这个方向是一个函数而不是向量。

在解决了方向问题后,我们需要考虑步进长度\eta如何选取。方法是在确定方向g_t后,选取合适的\eta,使$$\check{E}{ADA}取得最小值。也就是说,把\check{E}{ADA}看成是步进长度\eta的函数,目标是找到\check{E}_{ADA}最小化时对应的\eta$$值。

目的是找到在最佳方向上的最大步进长度,也就是steepest decent。我们先把\check{E}_{ADA}表达式写下来:

\check{E}_{ADA}=\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)}exp(-y_n\eta g_t(x_n))

上式中,有两种情况需要考虑:

  • y_n=g_t(x_n)u_n^{(t)}exp(-\eta) correct

  • y_n\neq g_t(x_n)u_n^{(t)}exp(+\eta) incorrect

经过推导,可得:

\check{E}_{ADA}=(\sum_{n=1}^Nu_n^{(t)})\cdot ((1-\epsilon_t)exp(-\eta)+\epsilon_t\ exp(+\eta))

然后对\eta求导,令\frac{\partial \check{E}_{ADA}}{\partial \eta}=0,得:

\eta_t=ln\sqrt{\frac{1-\epsilon_t}{\epsilon_t}}=\alpha_t

由此看出,最大的步进长度就是\alpha_t,即AdaBoost中计算g_t所占的权重。所以,AdaBoost算法所做的其实是在gradient descent上找到下降最快的方向和最大的步进长度。这里的方向就是g_t,它是一个函数,而步进长度就是\alpha_t。也就是说,在AdaBoost中确定g_t\alpha_t的过程就相当于在gradient descent上寻找最快的下降方向和最大的步进长度。

3. Gradient Boosting

前面我们从gradient descent的角度来重新介绍了AdaBoost的最优化求解方法。整个过程可以概括为:

以上是针对binary classification问题。如果往更一般的情况进行推广,对于不同的error function,比如logistic error function或者regression中的squared error function,那么这种做法是否仍然有效呢?这种情况下的GradientBoost可以写成如下形式:

仍然按照gradient descent的思想,上式中,h(x_n)是下一步前进的方向,\eta是步进长度。此时的error function不是前面所讲的exp了,而是任意的一种error function。因此,对应的hypothesis也不再是binary classification,最常用的是实数输出的hypothesis,例如regression。最终的目标也是求解最佳的前进方向h(x_n)和最快的步进长度\eta

接下来,我们就来看看如何求解regression的GradientBoost问题。它的表达式如下所示:

利用梯度下降的思想,我们把上式进行一阶泰勒展开,写成梯度的形式:

上式中,由于regression的error function是squared的,所以,对s的导数就是2(s_n-y_n)。其中标注灰色的部分表示常数,对最小化求解并没有影响,所以可以忽略。很明显,要使上式最小化,只要令h(x_n)是梯度2(s_n-y_n)的反方向就行了,即h(x_n)=-2(s_n-y_n)。但是直接这样赋值,并没有对h(x_n)的大小进行限制,一般不直接利用这个关系求出h(x_n)

实际上h(x_n)的大小并不重要,因为有步进长度\eta。那么,我们上面的最小化问题中需要对h(x_n)的大小做些限制。限制h(x_n)的一种简单做法是把h(x_n)的大小当成一个惩罚项(h^2(x_n))添加到上面的最小化问题中,这种做法与regularization类似。如下图所示,经过推导和整理,忽略常数项,我们得到最关心的式子是:

min\ \sum_{n=1}^N((h(x_n)-(y_n-s_n))^2)

上式是一个完全平方项之和,y_n-s_n表示当前第n个样本真实值和预测值的差,称之为余数。余数表示当前预测能够做到的效果与真实值的差值是多少。那么,如果我们想要让上式最小化,求出对应的h(x_n)的话,只要让h(x_n)尽可能地接近余数y_n-s_n即可。在平方误差上尽可能接近其实很简单,就是使用regression的方法,对所有N个点(x_n,y_n-s_n)做squared-error的regression,得到的回归方程就是我们要求的g_t(x_n)

以上就是使用GradientBoost的思想来解决regression问题的方法,其中应用了一个非常重要的概念,就是余数y_n-s_n。根据这些余数做regression,得到好的矩g_t(x_n),方向函数g_t(x_n)也就是由余数决定的。

在求出最好的方向函数g_t(x_n)之后,就要来求相应的步进长度\eta。表达式如下:

同样,对上式进行推导和化简,得到如下表达式:

上式中也包含了余数y_n-s_n,其中g_t(x_n)可以看成是x_n的特征转换,是已知量。那么,如果我们想要让上式最小化,求出对应的\eta的话,只要让\eta g_t(x_n)尽可能地接近余数y_n-s_n即可。显然,这也是一个regression问题,而且是一个很简单的形如y=ax的线性回归,只有一个未知数\eta。只要对所有N个点(\eta g_t(x_n),y_n-s_n)做squared-error的linear regression,利用梯度下降算法就能得到最佳的\eta

将上述这些概念合并到一起,我们就得到了一个最终的演算法Gradient Boosted Decision Tree(GBDT)。可能有人会问,我们刚才一直没有说到Decison Tree,只是讲到了GradientBoost啊?下面我们来看看Decison Tree究竟是在哪出现并使用的。其实刚刚我们在计算方向函数g_t的时候,是对所有N个点(x_n,y_n-s_n)做squared-error的regression。那么这个回归算法就可以是决策树C&RT模型(决策树也可以用来做regression)。这样,就引入了Decision Tree,并将GradientBoost和Decision Tree结合起来,构成了真正的GBDT算法。GBDT算法的基本流程图如下所示:

值得注意的是,s_n的初始值一般均设为0,即s_1=s_2=\cdots =s_N=0。每轮迭代中,方向函数g_t通过C&RT算法做regression,进行求解;步进长度\eta通过简单的单参数线性回归进行求解;然后每轮更新s_n的值,即s_n\leftarrow s_n+\alpha_tg_t(x_n)。T轮迭代结束后,最终得到G(x)=\sum_{t=1}^T\alpha_tg_t(x)

值得一提的是,本节课第一部分介绍的AdaBoost-DTree是解决binary classification问题,而此处介绍的GBDT是解决regression问题。二者具有一定的相似性,可以说GBDT就是AdaBoost-DTree的regression版本。

4. Summary of Aggregation Models

从机器学习技法课程的第7节课笔记到现在的第11节课笔记,我们已经介绍完所有的aggregation模型了。接下来,我们将对这些内容进行一个简单的总结和概括。

首先,我们介绍了blending。blending就是将所有已知的g_t aggregate结合起来,发挥集体的智慧得到G。值得注意的一点是这里的g_t都是已知的。blending通常有三种形式:

  • uniform:简单地计算所有g_t的平均值

  • non-uniform:所有g_t的线性组合

  • conditional:所有g_t的非线性组合

其中,uniform采用投票、求平均的形式更注重稳定性;而non-uniform和conditional追求的更复杂准确的模型,但存在过拟合的危险。

刚才讲的blending是建立在所有g_t已知的情况。那如果所有g_t未知的情况,对应的就是learning模型,做法就是一边学g_t,一边将它们结合起来。learning通常也有三种形式(与blending的三种形式一一对应):

  • Bagging:通过bootstrap方法,得到不同g_t,计算所有g_t的平均值

  • AdaBoost:通过bootstrap方法,得到不同g_t,所有g_t的线性组合

  • Decision Tree:通过数据分割的形式得到不同的g_t,所有g_t的非线性组合

然后,本节课我们将AdaBoost延伸到另一个模型GradientBoost。对于regression问题,GradientBoost通过residual fitting的方式得到最佳的方向函数g_t和步进长度\eta

除了这些基本的aggregation模型之外,我们还可以把某些模型结合起来得到新的aggregation模型。例如,Bagging与Decision Tree结合起来组成了Random Forest。Random Forest中的Decision Tree是比较“茂盛”的树,即每个树的g_t都比较强一些。AdaBoost与Decision Tree结合组成了AdaBoost-DTree。AdaBoost-DTree的Decision Tree是比较“矮弱”的树,即每个树的g_t都比较弱一些,由AdaBoost将所有弱弱的树结合起来,让综合能力更强。同样,GradientBoost与Decision Tree结合就构成了经典的算法GBDT。

Aggregation的核心是将所有的g_t结合起来,融合到一起,即集体智慧的思想。这种做法之所以能得到很好的模型G,是因为aggregation具有两个方面的优点:cure underfitting和cure overfitting。

第一,aggregation models有助于防止欠拟合(underfitting)。它把所有比较弱的g_t结合起来,利用集体智慧来获得比较好的模型G。aggregation就相当于是feature transform,来获得复杂的学习模型。

第二,aggregation models有助于防止过拟合(overfitting)。它把所有g_t进行组合,容易得到一个比较中庸的模型,类似于SVM的large margin一样的效果,从而避免一些极端情况包括过拟合的发生。从这个角度来说,aggregation起到了regularization的效果。

由于aggregation具有这两个方面的优点,所以在实际应用中aggregation models都有很好的表现。

5. 总结

本节课主要介绍了Gradient Boosted Decision Tree。首先讲如何将AdaBoost与Decision Tree结合起来,即通过sampling和pruning的方法得到AdaBoost-D Tree模型。然后,我们从optimization的角度来看AdaBoost,找到好的hypothesis也就是找到一个好的方向,找到权重\alpha也就是找到合适的步进长度。接着,我们从binary classification的0/1 error推广到其它的error function,从Gradient Boosting角度推导了regression的squared error形式。Gradient Boosting其实就是不断迭代,做residual fitting。并将其与Decision Tree算法结合,得到了经典的GBDT算法。最后,我们将所有的aggregation models做了总结和概括,这些模型有的能防止欠拟合有的能防止过拟合,应用十分广泛。

注明:

文章中所有的图片均来自台湾大学林轩田《机器学习技法》课程

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