吴恩达《序列模型》课程笔记（1）– 循环神经网络（RNN）

《Recurrent Neural Networks》是Andrw Ng深度学习专项课程中的第五门课，也是最后一门课。这门课主要介绍循环神经网络（RNN）的基本概念、模型和具体应用。该门课共有3周课时，所以我将分成3次笔记来总结，这是第一节笔记。

1. Why sequence models

序列模型能够应用在许多领域，例如：

• 语音识别

• 音乐发生器

• 情感分类

• DNA序列分析

• 机器翻译

• 视频动作识别

• 命名实体识别

这些序列模型基本都属于监督式学习，输入x和输出y不一定都是序列模型。如果都是序列模型的话，模型长度不一定完全一致。

2. Notation

下面以命名实体识别为例，介绍序列模型的命名规则。示例语句为：

Harry Potter and Hermione Granger invented a new spell.

该句话包含9个单词，输出y即为1 x 9向量，每位表征对应单词是否为人名的一部分，1表示是，0表示否。很明显，该句话中“Harry”，“Potter”，“Hermione”，“Granger”均是人名成分，所以，对应的输出y可表示为：

一般约定使用y^{< t >}表示序列对应位置的输出，使用T_y表示输出序列长度，则1\leq t\leq T_y。

对于输入x，表示为：

同样，x^{< t >}表示序列对应位置的输入，T_x表示输入序列长度。注意，此例中，T_x=T_y，但是也存在T_x\neq T_y的情况。

如何来表示每个x^{< t >}呢？方法是首先建立一个词汇库vocabulary，尽可能包含更多的词汇。例如一个包含10000个词汇的词汇库为：

该词汇库可看成是10000 x 1的向量。值得注意的是自然语言处理NLP实际应用中的词汇库可达百万级别的词汇量。

然后，使用one-hot编码，例句中的每个单词x^{< t >}都可以表示成10000 x 1的向量，词汇表中与x^{< t >}对应的位置为1，其它位置为0。该x^{< t >}为one-hot向量。值得一提的是如果出现词汇表之外的单词，可以使用UNK或其他字符串来表示。

对于多样本，以上序列模型对应的命名规则可表示为：X^{(i)< t >}，y^{(i)< t >}，T_x^{(i)}，T_y^{(i)}。其中，i表示第i个样本。不同样本的T_x^{(i)}或T_y^{(i)}都有可能不同。

3. Recurrent Neural Network Model

对于序列模型，如果使用标准的神经网络，其模型结构如下：

使用标准的神经网络模型存在两个问题：

第一个问题，不同样本的输入序列长度或输出序列长度不同，即T_x^{(i)}\neq T_x^{(j)}，T_y^{(i)}\neq T_y^{(j)}，造成模型难以统一。解决办法之一是设定一个最大序列长度，对每个输入和输出序列补零并统一到最大长度。但是这种做法实际效果并不理想。

第二个问题，也是主要问题，这种标准神经网络结构无法共享序列不同x^{< t >}之间的特征。例如，如果某个x^{< t >}即“Harry”是人名成分，那么句子其它位置出现了“Harry”，也很可能也是人名。这是共享特征的结果，如同CNN网络特点一样。但是，上图所示的网络不具备共享特征的能力。值得一提的是，共享特征还有助于减少神经网络中的参数数量，一定程度上减小了模型的计算复杂度。例如上图所示的标准神经网络，假设每个x^{< t >}扩展到最大序列长度为100，且词汇表长度为10000，则输入层就已经包含了100 x 10000个神经元了，权重参数很多，运算量将是庞大的。

标准的神经网络不适合解决序列模型问题，而循环神经网络（RNN）是专门用来解决序列模型问题的。RNN模型结构如下：

序列模型从左到右，依次传递，此例中，T_x=T_y。x^{< t >}到\hat y^{< t >}之间是隐藏神经元。a^{< t >}会传入到第t+1个元素中，作为输入。其中，$$a^{<0>

RNN的正向传播（Forward Propagation）过程为：

a^{< t >}=g(W_{aa}\cdot a^{< t-1 >}+W_{ax}\cdot x^{< t >}+ba)

\hat y^{< t >}=g(W_{ya}\cdot a^{< t >}+b_y)

其中，g(\cdot)表示激活函数，不同的问题需要使用不同的激活函数。

为了简化表达式，可以对a^{< t >}项进行整合：

则正向传播可表示为：

a^{< t >}=g(W_a[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_a)

\hat y^{< t >}=g(W_{y}\cdot a^{< t >}+b_y)

值得一提的是，以上所述的RNN为单向RNN，即按照从左到右顺序，单向进行，\hat y^{< t >}只与左边的元素有关。但是，有时候\hat y^{< t >}也可能与右边元素有关。例如下面两个句子中，单凭前三个单词，无法确定“Teddy”是否为人名，必须根据右边单词进行判断。

He said, “Teddy Roosevelt was a great President.”

He said, “Teddy bears are on sale!”

因此，有另外一种RNN结构是双向RNN，简称为BRNN。\hat y^{< t >}与左右元素均有关系，我们之后再详细介绍。

4. Backpropagation through time

针对上面识别人名的例子，经过RNN正向传播，单个元素的Loss function为：

L^{< t >}(\hat y^{< t >},y^{< t >})=-y^{< t >}log\ \hat y^{< t >}-(1-y^{< t >})log\ (1-\hat y^{< t >})

该样本所有元素的Loss function为：

L(\hat y,y)=\sum_{t=1}^{T_y}L^{< t >}(\hat y^{< t >},y^{< t >})

然后，反向传播（Backpropagation）过程就是从右到左分别计算L(\hat y,y)对参数W_{a}，W_{y}，b_a，b_y的偏导数。思路与做法与标准的神经网络是一样的。一般可以通过成熟的深度学习框架自动求导，例如PyTorch、Tensorflow等。这种从右到左的求导过程被称为Backpropagation through time。

5. Different types of RNNs

以上介绍的例子中，T_x=T_y。但是在很多RNN模型中，T_x是不等于T_y的。例如第1节介绍的许多模型都是T_x\neq T_y。根据T_x与T_y的关系，RNN模型包含以下几个类型：

• Many to many: T_x=T_y

• Many to many: T_x\neq T_y

• Many to one: T_x>1,T_y=1

• One to many: T_x=1,T_y>1

• One to one: T_x=1,T_y=1

不同类型相应的示例结构如下：

6. Language model and sequence generation

语言模型是自然语言处理（NLP）中最基本和最重要的任务之一。使用RNN能够很好地建立需要的不同语言风格的语言模型。

什么是语言模型呢？举个例子，在语音识别中，某句语音有两种翻译：

• The apple and pair salad.

• The apple and pear salad.

很明显，第二句话更有可能是正确的翻译。语言模型实际上会计算出这两句话各自的出现概率。比如第一句话概率为10^{-13}，第二句话概率为10^{-10}。也就是说，利用语言模型得到各自语句的概率，选择概率最大的语句作为正确的翻译。概率计算的表达式为：

P(y^{< 1 >},y^{< 2 >},\cdots,y^{< T_y >})

如何使用RNN构建语言模型？首先，我们需要一个足够大的训练集，训练集由大量的单词语句语料库（corpus）构成。然后，对corpus的每句话进行切分词（tokenize）。做法就跟第2节介绍的一样，建立vocabulary，对每个单词进行one-hot编码。例如下面这句话：

The Egyptian Mau is a bread of cat.

One-hot编码已经介绍过了，不再赘述。还需注意的是，每句话结束末尾，需要加上 < EOS > 作为语句结束符。另外，若语句中有词汇表中没有的单词，用 < UNK > 表示。假设单词“Mau”不在词汇表中，则上面这句话可表示为：

The Egyptian < UNK > is a bread of cat. < EOS >

准备好训练集并对语料库进行切分词等处理之后，接下来构建相应的RNN模型。

语言模型的RNN结构如上图所示，x^{< 1 >}和a^{< 0 >}均为零向量。Softmax输出层\hat y^{< 1 >}表示出现该语句第一个单词的概率，softmax输出层\hat y^{< 2 >}表示在第一个单词基础上出现第二个单词的概率，即条件概率，以此类推，最后是出现 < EOS > 的条件概率。

单个元素的softmax loss function为：

L^{< t >}(\hat y^{< t >},y^{< t >})=-\sum_iy_i^{< t >}log\ \hat y_i^{< t >}

该样本所有元素的Loss function为：

L(\hat y,y)=\sum_tL^{< t >}(\hat y^{< t >},y^{< t >})

对语料库的每条语句进行RNN模型训练，最终得到的模型可以根据给出语句的前几个单词预测其余部分，将语句补充完整。例如给出 “Cats average 15”，RNN模型可能预测完整的语句是 “Cats average 15 hours of sleep a day.”。

最后补充一点，整个语句出现的概率等于语句中所有元素出现的条件概率乘积。例如某个语句包含y^{< 1 >},y^{< 2 >},y^{< 3 >}，则整个语句出现的概率为：

P(y^{< 1 >},y^{< 2 >},y^{< 3 >})=P(y^{< 1 >})\cdot P(y^{< 2 >}|y^{< 1 >})\cdot P(y^{< 3 >}|y^{< 1 >},y^{< 2 >})

7 Sampling novel sequences

利用训练好的RNN语言模型，可以进行新的序列采样，从而随机产生新的语句。与上一节介绍的一样，相应的RNN模型如下所示：

首先，从第一个元素输出\hat y^{< 1 >}的softmax分布中随机选取一个word作为新语句的首单词。然后，y^{< 1 >}作为x^{< 2 >}，得到\hat y^{< 1 >}的softmax分布。从中选取概率最大的word作为y^{< 2 >}，继续将y^{< 2 >}作为x^{< 3 >}，以此类推。直到产生 < EOS > 结束符，则标志语句生成完毕。当然，也可以设定语句长度上限，达到长度上限即停止生成新的单词。最终，根据随机选择的首单词，RNN模型会生成一条新的语句。

值得一提的是，如果不希望新的语句中包含 < UNK > 标志符，可以在每次产生 < UNK > 时重新采样，直到生成非 < UNK > 标志符为止。

以上介绍的是word level RNN，即每次生成单个word，语句由多个words构成。另外一种情况是character level RNN，即词汇表由单个英文字母或字符组成，如下所示：

Vocabulay=[a,b,c,\cdots,z,.,;,\ ,0,1,\cdots,9,A,B,\cdots,Z]

Character level RNN与word level RNN不同的是，\hat y^{< t >}由单个字符组成而不是word。训练集中的每句话都当成是由许多字符组成的。character level RNN的优点是能有效避免遇到词汇表中不存在的单词 < UNK > 。但是，character level RNN的缺点也很突出。由于是字符表征，每句话的字符数量很大，这种大的跨度不利于寻找语句前部分和后部分之间的依赖性。另外，character level RNN的在训练时的计算量也是庞大的。基于这些缺点，目前character level RNN的应用并不广泛，但是在特定应用下仍然有发展的趋势。

8. Vanisging gradients with RNNs

语句中可能存在跨度很大的依赖关系，即某个word可能与它距离较远的某个word具有强依赖关系。例如下面这两条语句：

The cat, which already ate fish, was full.

The cats, which already ate fish, were full.

第一句话中，was受cat影响；第二句话中，were受cats影响。它们之间都跨越了很多单词。而一般的RNN模型每个元素受其周围附近的影响较大，难以建立跨度较大的依赖性。上面两句话的这种依赖关系，由于跨度很大，普通的RNN网络容易出现梯度消失，捕捉不到它们之间的依赖，造成语法错误。关于梯度消失的原理，我们在之前的吴恩达《优化深度神经网络》课程笔记（1）– 深度学习的实用层面已经有过介绍，可参考。

另一方面，RNN也可能出现梯度爆炸的问题，即gradient过大。常用的解决办法是设定一个阈值，一旦梯度最大值达到这个阈值，就对整个梯度向量进行尺度缩小。这种做法被称为gradient clipping。

9. Gated Recurrent Unit(GRU)

RNN的隐藏层单元结构如下图所示：

a^{< t >}的表达式为：

a^{< t >}=tanh(W_a[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_a)

为了解决梯度消失问题，对上述单元进行修改，添加了记忆单元，构建GRU，如下图所示：

相应的表达式为：

\tilde c^{< t >}=tanh(W_c[c^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_c)

\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_u)

c^{< t >}=\Gamma*\tilde c^{< t >}+(1-\Gamma_u)*c^{< t-1 >}

其中，c^{< t-1 >}=a^{< t-1 >}，c^{< t >}=a^{< t >}。\Gamma_u意为gate，记忆单元。当\Gamma_u=1时，代表更新；当\Gamma_u=0时，代表记忆，保留之前的模块输出。这一点跟CNN中的ResNets的作用有点类似。因此，\Gamma_u能够保证RNN模型中跨度很大的依赖关系不受影响，消除梯度消失问题。

上面介绍的是简化的GRU模型，完整的GRU添加了另外一个gate，即\Gamma_r，表达式如下：

\tilde c^{< t >}=tanh(W_c[\Gamma_r*c^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_c)

\Gamma_u=\sigma(W_u[c^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_u)

\Gamma_r=\sigma(W_r[c^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_r)

c^{< t >}=\Gamma*\tilde c^{< t >}+(1-\Gamma_u)*c^{< t-1 >}

a^{< t >}=c^{< t >}

注意，以上表达式中的 * 表示元素相乘，而非矩阵相乘。

10. Long Short Term Memory(LSTM)

LSTM是另一种更强大的解决梯度消失问题的方法。它对应的RNN隐藏层单元结构如下图所示：

相应的表达式为：

\tilde c^{< t >}=tanh(W_c[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_c)

\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_u)

\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_f)

\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_o)

c^{< t >}=\Gamma_u*\tilde c^{< t >}+\Gamma_f*c^{< t-1 >}

a^{< t >}=\Gamma_o*c^{< t >}

LSTM包含三个gates：\Gamma_u，\Gamma_f，\Gamma_o，分别对应update gate，forget gate和output gate。

如果考虑c^{< t-1 >}对\Gamma_u，\Gamma_f，\Gamma_o的影响，可加入peephole connection，对LSTM的表达式进行修改：

\tilde c^{< t >}=tanh(W_c[a^{< t-1 >},x^{< t >}]+b_c)

\Gamma_u=\sigma(W_u[a^{< t-1 >},x^{< t >},c^{< t-1 >}]+b_u)

\Gamma_f=\sigma(W_f[a^{< t-1 >},x^{< t >},c^{< t-1 >}]+b_f)

\Gamma_o=\sigma(W_o[a^{< t-1 >},x^{< t >},c^{< t-1 >}]+b_o)

c^{< t >}=\Gamma_u*\tilde c^{< t >}+\Gamma_f*c^{< t-1 >}

a^{< t >}=\Gamma_o*c^{< t >}

GRU可以看成是简化的LSTM，两种方法都具有各自的优势。

11. Bidirectional RNN

我们在第3节中简单提过Bidirectional RNN，它的结构如下图所示：

BRNN对应的输出y^{< t >}表达式为：

\hat y^{< t >}=g(W_{y}[a^{\rightarrow < t >},a^{\leftarrow < t >}]+b_y)

BRNN能够同时对序列进行双向处理，性能大大提高。但是计算量较大，且在处理实时语音时，需要等到完整的一句话结束时才能进行分析。

12. Deep RNNs

Deep RNNs由多层RNN组成，其结构如下图所示：

与DNN一样，用上标[l]表示层数。Deep RNNs中a^{[l]< t >}的表达式为：

a^{[l]< t >}=g(W_a^{[l]}[a^{[l]< t-1 >},a^{[l-1]< t >}]+b_a^{[l]})

我们知道DNN层数可达100多，而Deep RNNs一般没有那么多层，3层RNNs已经较复杂了。

另外一种Deep RNNs结构是每个输出层上还有一些垂直单元，如下图所示：

至此，第一节笔记介绍完毕！

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