如何让奇异值分解(SVD)变得不“奇异”？

在之前的一篇文章：通俗解释协方差与相关系数，红色石头为大家通俗化地讲解了协方差是如何定义的，以及如何直观理解协方差，并且比较了协方差与相关系数的关系。

本文红色石头将继续使用白话语言，介绍机器学习中应用十分广泛的矩阵分解方法：奇异值分解（SVD）。本文不注重详细的数学推导，只注重感性的理解以及如何在实际应用中使用它们。

1. 普通方阵的矩阵分解（EVD）

我们知道如果一个矩阵 A 是方阵，即行列维度相同（mxm），一般来说可以对 A 进行特征分解：

其中，U 的列向量是 A 的特征向量，Λ 是对角矩阵，Λ 对角元素是对应特征向量的特征值。

举个简单的例子，例如方阵 A 为：

那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为：

import numpy as np

A = np.array([[2,2],[1,2]])
lamda,U=np.linalg.eig(A)
print('方阵 A: ',A)
print('特征值 lamda: ',lamda)
print('特征向量 U: ',U)

运行输出：

方阵 A: [[2 2]
[1 2]]
特征值 lamda: [ 3.41421356 0.58578644]
特征向量 U: [[ 0.81649658 -0.81649658]
[ 0.57735027 0.57735027]]

特征分解就是把 A 拆分，如下所示：

其中，特征值 λ1=3.41421356，对应的特征向量 u1=[0.81649658 0.57735027]；特征值 λ2=0.58578644，对应的特征向量 u2=[-0.81649658 0.57735027]，特征向量均为列向量。

值得注意的是，特征向量都是单位矩阵，相互之间是线性无关的，但是并不正交。得出的结论是对于任意方阵，不同特征值对应的特征向量必然线性无关，但是不一定正交。

2.对称矩阵的矩阵分解（EVD）

如果方阵 A 是对称矩阵，例如：

对称矩阵特征分解满足以下公式：

那么对其进行特征分解，相应的 Python 代码为：

A = np.array([[2,1],[1,1]])
lamda,U=np.linalg.eig(A)
print('方阵 A: ',A)
print('特征值 lamda: ',lamda)
print('特征向量 U: ',U)

运行输出：

方阵 A: [[2 1]
[1 1]]
特征值 lamda: [ 2.61803399 0.38196601]
特征向量 U: [[ 0.85065081 -0.52573111]
[ 0.52573111 0.85065081]]

特征分解就是把 A 拆分，如下所示：

其中，特征值 λ1=2.61803399，对应的特征向量 u1=[0.85065081 0.52573111]；特征值 λ2=0.38196601，对应的特征向量 u2=[-0.52573111 0.85065081]，特征向量均为列向量。

注意，我们发现对阵矩阵的分解和非对称矩阵的分解除了公式不同之外，特征向量也有不同的特性。对称矩阵的不同特征值对应的特征向量不仅线性无关，而且是相互正交的。什么是正交呢？就是特征向量内积为零。验证如下：

0.85065081 * -0.52573111 + 0.52573111 * 0.85065081 = 0

重点来了，对称矩阵 A 经过矩阵分解之后，可以写成以下形式：

对上式进行验证：

这种分解形式非常有用，待会红色石头即将介绍。

3. 奇异值分解（SVD）

我们发现，在矩阵分解里的 A 是方阵或者是对称矩阵，行列维度都是相同的。但是实际应用中，很多矩阵都是非方阵、非对称的。那么如何对这类矩阵进行分解呢？因此，我们就引入了针对维度为 mxn 矩阵的分解方法，称之为奇异值分解（Singular Value Decomposition）。

假设矩阵 A 的维度为 mxn，虽然 A 不是方阵，但是下面的矩阵却是方阵，且维度分别为 mxm、nxn。

因此，我们就可以分别对上面的方阵进行分解：

其中，Λ1 和 Λ2 是对焦矩阵，且对角线上非零元素均相同，即两个方阵具有相同的非零特征值，特征值令为 σ1, σ2, … , σk。值得注意的是，k<=m 且 k<=n。

根据 σ1, σ2, … , σk 就可以得到矩阵 A 的特征值为：

接下来，我们就能够得到奇异值分解的公式：

其中，P 称为左奇异矩阵，维度是 mxm，Q 称为右奇异矩阵，维度是 nxn。Λ 并不是方阵，其维度为 mxn，Λ 对角线上的非零元素就是 A 的特征值 λ1, λ2, … , λk。图形化表示奇异值分解如下图所示：

举个简单的例子来说明，令 A 为 3×2 的矩阵：

则有：

计算得到特征向量 P 和对应的特征值 σ 为：

然后，有：

计算得到特征向量 Q 和对应的特征值 σ 为：

则我们看可以得到 A 的特征值为：

最后，整合矩阵相乘结果，满足奇异值分解公式。

奇异值分解可以写成以下和的形式：

其中，p1 和 q1 分别为左奇异矩阵和右奇异矩阵的特征向量。

4. 如何形象化理解 SVD

奇异值分解到底有什么用呢？如何形象化地理解奇异值？我们一起来看下面的例子。

首先放上男神的照片：

我们对该图片进行奇异值分解，则该图片可写成以下和的形式：

上式中，λ1, λ2, … , λk 是按照从大到小的顺序的。

首先，若我们只保留最大的奇异值 λ1，舍去其它奇异值，即 A=λ1p1q1T，然后作图：

结果完全看不清楚，再多加几个奇异值，取前 5 个最大的奇异值，然后作图：

现在貌似有点轮廓了，继续增加奇异值，取前 10 个最大的奇异值，然后作图：

又清晰了一些，继续将奇异值增加到 20 个，然后作图：

现在已经比较清晰了，继续将奇异值增加到 50 个，然后作图：

可见，取前 50 个最大奇异值来重构图像时，已经非常清晰了。我们得到和原图差别不大的图像。也就是说，随着选择的奇异值的增加，重构的图像越来越接近原图像。

基于这个原理，奇异值分解可以用来进行图片压缩。例如在本例中，原始图片的维度是 870×870，总共需要保存的像素值是：870×870=756900。若使用 SVD，取前 50 个最大的奇异值即可，则总共需要存储的元素个数为：

(870+1+870)*50=87050

显然，所需存储量大大减小了。在需要存储许多高清图片，而存储空间有限的情况下，就可以利用 SVD，保留奇异值最大的若干项，舍去奇异值较小的项即可。

值得一提的是，奇异值从大到小衰减得特别快，在很多情况下，前 10% 甚至 1% 的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的 99% 以上了。这对于数据压缩来说是个好事。下面这张图展示了本例中奇异值和奇异值累加的分布：

SVD 数据压缩的算法图示如下：

SVD 数据压缩的示例代码为：

from skimage import io
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image

img=io.imread('./ng.jpg')
m,n = img.shape
io.imshow(img)
plt.show()

P, L, Q = np.linalg.svd(img)
tmp = np.diag(L)
if m < n:
   d = np.hstack((tmp,np.zeros((m,n-m))))
else:
   d = np.vstack((tmp,np.zeros((m-n,n))))

# k = 50
img2 = P[:,:50].dot(d[:50,:50]).dot(Q[:50,:])
io.imshow(np.uint8(img2))
plt.show()

tmp = np.uint8(img2)
im = Image.fromarray(tmp)
im.save("out.jpg")

现在，你已经完全了解了奇异值分解了吧。是不是挺简单也挺有意思呢？

参考文献：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26306568

https://www.zhihu.com/question/22237507/answer/53804902

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